Question

已知函数f（x）=4sin²ωx-3

3

sinωxcosωx+cos2ωx是以

π

2

为最小正周期的周期函数．
（1）求y=f（x）图象的对称轴方程；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间，并求最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为

5

2

-3sin（2ωx+

π

6

），再根据函数f（x）的最小正周期
求得ω，可得函数的解析式，从而求得y=f（x）图象的对称轴方程．
（2）令 2kπ+

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，可得函数的增区间，从而求得函数的最大值及取得
最大值时x的值．

解答：解：（1）由于函数f（x）=4sin²ωx-3

3

sinωxcosωx+cos2ωx=1+3×

1-cos2ωx

2

-

3 3

2

sin2ωx
=

5

2

-3（

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx）=

5

2

-3sin（2ωx+

π

6

），
且函数f（x）的最小正周期为

π

2

，
∴

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2，
故函数的解析式为 f（x）=

5

2

-3sin（4x+

π

6

）．
再由 4x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得x=

kπ

4

+

π

12

，
故y=f（x）图象的对称轴方程为 x=

kπ

4

+

π

12

，k∈z．
（2）由于f（x）=

5

2

-3sin（4x+

π

6

），
故函数f（x）的增区间，即为sin（4x+

π

6

）的减区间．
令 2kπ+

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得

kπ

2

+

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

3

，k∈z，
故函数的增区间为[

kπ

2

-

π

6

，

kπ

2

+

π

12

]，k∈z．
当sin（4x+

π

6

）取得最小值时，函数f（x）取得最大值，令 4x+

π

6

=2kπ+

3π

2

，可得 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈z，
函数f（x）取得最大值为

5

2

+3=

11

2

，此时，x的值为：

kπ

2

+

π

3

，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，三角函数的单调性及最值，
属于中档题．