Question

17．已知等差数列{a_n}的首项a₁=4，a₂+a₆=26；各项为正数的等比数列{b_n}中，a₅•b₄=1，b₃=4b₅
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过将出现的项均用首项和公差（公比）表示出来，联立方程组，计算即得结论；
（2）通过（1）可知c_n=（3n+1）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，2a₁+6d=26，
即8+6d=26，解得：d=3，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1，
∵q²=$\frac{{b}_{5}}{{b}_{3}}$=4，q＞0，
∴q=2，
∴b₁=$\frac{1}{{a}_{5}{q}^{3}}$=$\frac{1}{16•8}$=$\frac{1}{{2}^{7}}$，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{8-n}}$；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（3n+1）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$，
∴T_n=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+7•$\frac{1}{{2}^{6}}$+…+（3n+1）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$，
2T_n=4•$\frac{1}{{2}^{6}}$+7•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（3n-2）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$+（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$，
错位相减得：-T_n=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3（$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{8-n}}$）-（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3•$\frac{\frac{1}{{2}^{6}}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3•（$\frac{1}{{2}^{7-n}}$-$\frac{1}{{2}^{6}}$）-（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=-$\frac{1}{{2}^{6}}$-$\frac{2-3n}{{2}^{7-n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{3n-2}{{2}^{7-n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．