Question

（2012•浙江模拟）若函数f（x）=asinx+bcosx（ab≠0）的图象向左平移

π

3

个单位后得到的图象对应的函数是奇函数，则直线ax-by+c=0的倾斜角为（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

Answer 1

分析：利用辅助角公式将f（x）=asinx+bcosx化为f（x）=

a2+b2

sin（x+φ），图象向左平移

π

3

个单位后得到g（x）=

a2+b2

sin（x+

π

3

+φ），由g（x）是奇函数可得

π

3

+φ=kπ（k∈Z），从而可求得φ，继而可得直线ax-by+c=0的倾斜角．

解答：解：∵f（x）=asinx+bcosx
=

a2+b2

sin（x+φ），），（tanφ=

b

a

），
∴g（x）=f（x+

π

3

）
=

a2+b2

sin（x+

π

3

+φ），（tanφ=

b

a

），
又g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x）
∴

π

3

+φ=kπ（k∈Z且k≠0），
∴tanφ=tan（kπ-

π

3

）=-

3

，又tanφ=

b

a

，
∴

b

a

=-

3

，
设直线ax-by+c=0的倾斜角θ，则tanθ=

a

b

=-

3

3

，
∵0＜θ＜π，
∴θ=

5π

6

，即θ=150°．
故选D．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数的奇偶性及直线的倾斜角，求得φ的关系式是关键，理清φ与直线ax-by+c=0的倾斜角的关系是难点，属于中档题．