【题目】 设函数f(x)=(x-1)2+bln x,其中b为常数.
(1)当b>时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)若函数f(x)有极值点,求b的取值范围及f(x)的极值点.
【答案】(1)单调递增(2)见解析
【解析】
试题(1)先求函数导数,再对导函数分子配方,根据b范围确定导函数符号,即得函数单调性(2)函数f(x)有极值点,即导函数变化,转化为对应方程有两个不等实根,即得b的取值范围,再列表分析导函数符号变化规律,进而确定f(x)的极值点.
试题解析:解:(1)由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2x-2+== (x>0),
∴当b>时,f′(x)>0,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.
(2)①由(1)得,当b≥时,f′(x)≥0,函数f(x)无极值点.
②当b<时,f′(x)=0有两个不同解,x1=-,x2=+,所以(ⅰ)b≤0时,x1=-≤0(0,+∞),舍去,
而x2=+≥1∈(0,+∞),
此时f′(x),f(x)随x在定义域上的变化情况如下表:
x | (0,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由此表可知:b≤0时,f(x)有惟一极小值点,x=+.
(ⅱ)当0<b<时,0<x1<x2<1,此时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x | (0,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由此表可知:0<b<时,f(x)有一个极大值x1=-和一个极小值点x2=+.
综上所述:当b≤0时,f(x)有惟一极小值点
当0<b<时,f(x)有一个极大值点x=-和一个极小值点x=+.
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【题目】已知函数的图象如图,直线在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.
(1)求的解析式;
(2)若常数,求函数在区间上的最大值.
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【题目】 为了净化广州水系,拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果池外壁建造单价为400元/m2,中间两条隔墙建造单价为248元/m2,池底建造单价为80元/m2(池壁厚度忽略不计,且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与x的函数关系式,并指出定义域;
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低,并求最低造价.
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【题目】如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
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