Question

已知向量=（1，1），=（1，0），向量满足•=0且||=||，•＞0．
（I）求向量；
（Ⅱ）映射f：（x，y）→（x′，y′）=x•+y•，若将（x，y）看作点的坐标，问是否存在直线l，使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设=（x，y），由题意可得
解方程组得或，
经验证当时不满足，当时满足题意，
故=（1，-1）．
（2）假设直线l存在，∴x+y=（x+y，x-y），∵点（x+y，x-y）在直线l上，
因此直线l的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx+b（k≠0），
∴x-y=k（x+y）+b，即（1+k）y=（1-k）x-b，与y=kx+b表示同一直线，
∴b=0，k=-1±．
故直线l存在，其方程为y=（-1+）x，或y=（-1-）x．
分析：（1）设出向量的坐标根据已知条件列出式子解出坐标，然后验证是否满足；
（2）由映射写出象的坐标建立方程，由两方程表示同一直线比较系数可得b、k的值．
点评：本题为向量的基本运算，涉及直线的方程的应用，属中档题．