【题目】已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣
处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）讨论函数g（x）=f（x）ex的单调性．
【答案】(1) a=
;(2) 在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）为增函数.
【解析】（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．
∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣
处取得极值，∴f′（﹣）=0，
∴3a
+2（﹣）=0，∴a=
；
（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）ex，
∴g′（x）=（
x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）为增函数．
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【题目】如图，四边形
为梯形， 
， 
平面
， 
， 
， 
， 
为
中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）线段
上是否存在一点
，使
平面
？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.
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【题目】心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：（单位：人）
立体几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？
（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为
，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记抽取的两人中答对的人数为
，求的分布列及数学期望．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
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【题目】已知一次函数f(x)为增函数，且f(f(x))＝4x＋9，g(x)＝mx＋m＋3(m∈R).
(1)当x∈[－1,2]时，若不等式g(x)＞0恒成立，求m的取值范围；
(2)如果函数F(x)＝f(x)g(x)为偶函数，求m的值；
(3)当函数f(x)和g(x)满足f(g(x))＝g(f(x))时，求函数
的值域.
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【题目】为了参加师大附中第30界田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1(单位：米).
（Ⅰ）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；
（Ⅱ）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根
元.从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求
的值.
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【题目】某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任选3人参加学校的义务劳动．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率．
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