Question

已知可由数列{a_n}构造一列向量：

βn

=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量

m

=（1，3），

p

=（3a₁，7-a₂），且向量

m

与

p

垂直，以及向量

m

与

βn

平行（n∈Z₊）．
（1）试确定a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与向量的综合,平行向量与共线向量

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的平行与垂直，列出关系式即可求解a₁的值；
（2）利用向量

m

与

βn

平行（n∈Z₊）．推出数列的递推关系式，转化为数列是等比数列，求出新数列的通项公式，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： （本题满分13分）
解：（1）由向量

m

⊥

p

，以及向量

m

∥

βn

，
可得

3a1+21-3a2=0 6a1-a2+4=0

解得a1=

3

5

．
（2）?n∈Z+，

m

∥

βn

，于是有2an×3-an+1+2n+1=0，
整理得：an+1=6an+2n+1，
∴

an+1

2n+1

=3•

an

2n

+1，
∴

an+1

2n+1

+

1

2

=3•(

an

2n

+

1

2

)，
∵

a1

2

+

1

2

=

4

5

≠0，
∴

an

2n

+

1

2

=

4

5

×3n-1
∴数列{

an

2n

+

1

2

}是以

4

5

为首项，以3为公比的等比数列．
∴an=(

4

5

×3n-1-

1

2

)•2n=

2n+2•3n-1

5

-2n-1.．

点评：本题考查向量与数列的综合应用，数列的通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．