【题目】已知函数f(x)=(2-a)lnx++2ax.
(1)当a<0时,讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意的a∈(-3,-2),x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln 3)a-2ln 3>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析(2) (-∞,- ].
【解析】试题分析:(1)对原函数求导,f′(x)=,分a=-2,-2<a<0,a<-2,三种情况讨论导函数的正负,得原函数的单调性;(2)根据第一问知道当a∈(-3,-2)时,函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,故得到f(x)max=f(1)=1+2a,f(x)min=f(3)=(2-a)ln 3+
+6a,问题等价于am>
-4a,m<
-4,m≤(
-4)min。
解析:
(1)求导可得f′(x)=-
+2a=
,
令f′(x)=0,得x1=,x2=-
,
当a=-2时,f′(x)≤0,函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递减;
当-2<a<0时,在区间(0, ),(-
,+∞)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在区间(
,-
)上f′(x)>0,f(x)单调递增;
当a<-2时,在区间(0,- ),(
,+∞)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在区间(-
,
)上f′(x)>0,f(x)单调递增.
(2)由(1)知当a∈(-3,-2)时,函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,
所以当x∈[1,3]时,f(x)max=f(1)=1+2a,f(x)min=f(3)=(2-a)ln 3++6a.
问题等价于:对任意的a∈(-3,-2),恒有(m+ln 3)a-2ln 3>1+2a-(2-a)ln 3--6a成立,即am>
-4a,
因为a<0,所以m<-4,
因为a∈(-3,-2),
所以只需m≤(-4)min,
所以实数m的取值范围为(-∞,- ].
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【题目】甲乙两个学校高三年级分别有1100人,1000人,为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩清况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:
甲校:
乙校:
(1)计算的值;
(2)若规定考试成绩在内为优秀,请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率;
(3)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有
的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
附: ;
.
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【题目】如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,DE⊥AB于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)).
(1)求证:PB⊥DE;
(2)若PE⊥BE,PE=1,求点B到平面PEC的距离.
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【题目】对于定义域为R的函数f(x),若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均有零点,则称函数f(x)为“含界点函数”,则下列四个函数中,不是“含界点函数”的是( )
A. f(x)=x2+bx-1(b∈R) B. f(x)=2-|x-1|
C. f(x)=2x-x2 D. f(x)=x-sin x
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【题目】如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间内单调递增;
②函数y=f(x)在区间内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是( )
A. ①② B. ②③
C. ③④⑤ D. ③
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【题目】设函数 .
(1)若函数在
上单调递增,求
的取值范围;
(2)设函数,若对任意的
,都有
,求
的取值范围;
(3)设,点
是函数
与
的一个交点,且函数
与
在点
处的切线互相垂直,求证:存在唯一的
满足题意,且
.
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【题目】已知函数f(x)= (其中e是自然对数的底数,常数a>0).
(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;
(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.
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