Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；
（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx﹣ax得 ，

f'（1）=31﹣a=3a=﹣2，

则f（x）=lnx+2x，f（1）=2点（1，2）为切点，

则2=3+b

b=﹣1，

（2）解：由f（x）=lnx﹣ax ，

∴f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，

①当 ≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，

∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a；

②当 ≥2，即 时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，

∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a；

③当1＜ ＜2，即 ＜a＜1时，函数f（x）在[1， ]上是增函数，在[ ，2]是减函数．

又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，

∴当 ＜a＜ln2时，最小值是f（1）=﹣a，

当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a；

综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=﹣a；

当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2﹣2a，

（3）解：由条件得f（x1）max＜g（x2）max，

又∵g（x2）max=2，

∴f（x1）max＜2．

若a≤0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，

x→+∞，f（x）→+∞，不符题意；

∴a＞0由Ⅱ可知 ，

得：

【解析】（1）求出函数的导数，根据f'（1）=3，求出a的值，根据f（1）=2求出b的值即可；（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（3）问题转化为f（x1）max＜g（x2）max ， 结合函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．