Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）
（1）若函数f（x）在点区间[e，+∞]处上为增函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且k∈Z时，不等式 k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；
（3）n＞m≥4时，证明：（mnn）m＞（nmm）n ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax+xlnx，

又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，

∴当x≥e时，f'（x）=a+1+lnx≥0恒成立，

∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，

即a的取值范围为[﹣2，+∞）；

（2）解：因为f（x）=ax+xlnx（a∈R），

所以f'（x）=a+lnx+1f（x）在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，

f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1

当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式 ，

即 对任意x＞1恒成立，

令 则 ．

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），

则 在（1，+∞）上单增，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，

即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，

当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即kmax=3

（3）证明：由（2）知， 是[4，+∞）上的增函数，

所以当n＞m≥4，

整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+n﹣m

因为n＞m，mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn…

即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，

ln（nmnmm）＞ln（mmnnn），

nmnmm＞mmnnn，

∴（mnn）m＞（nmm）n

【解析】（1）求出函数的导数，得到a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，从而求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，求出a的值，得到 对任意x＞1恒成立，令 ，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的最大值；（3）当n＞m≥4，得到 ，整理即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．