Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2 ， 且|F1F2|=2，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2||F2B|的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为 ， 由题意知 解得 ．
所以椭圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）因为F2（1，0），当直线 的斜率不存在时， ， ，
则 ，不符合题意．
当直线y=k（x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．
由 消（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．
设 ， ，则 、 是方程（*）的两个根，
所以 ， ．
所以 ，
所以
所以 = =

当k2=0时，|AF2||F2B|取最大值为3，
所以|AF2||F2B|的取值范围 ．
又当k不存在，即AB⊥x轴时，|AF2||F2B|取值为 ．
所以|AF2||F2B|的取值范围
【解析】（Ⅰ）利用|F1F2|=2，离心率为 ，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求|AF2||F2B|的取值范围．