【题目】已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数
的取值范围;
(3)设函数,若在
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1) 当时,
,求导,由
求出切线斜率及点
,即可求出切线方程;(2)由
在定义域区间
上恒成立得
,利用基本不等式求出函数
的最大值,即可求出
的取值范围;(3)构造函数
,由在区间
上,函数
至少存在一点
使
,即由在区间
上
,求出
的范围即可.
试题解析:已知函数.
(1),
,
,
, 故切线方程为:
.
(2),由
在定义域
内为增函数,所以
在
上恒成立,∴
即
,对
恒成立,设
,
,
易知,在
上单调递增,在
上单调递减,则
,
∴,即
.
(3)设函数,
,
则原问题在
上至少存在一点
,使得
,
当
时,
,则
在
上单调递增,
,舍;
当
时,
,
∵,∴
,
,
,则
,舍;
当
时,
,
则在
上单调递增,
,整理得
,
综上,.
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【题目】已知椭圆 =1(a>b>0)的焦点是F1、F2 , 且|F1F2|=2,离心率为
. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,求|AF2||F2B|的取值范围.
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【题目】设命题p:实数x满足 <0,其中a>0,命题q:实数x满足
.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间,分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取部进行测试,其结果如下:
甲种手机供电时间(小时) | ||||||
乙种手机供电时间(小时) |
(1)求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差,并判断哪种手机电池质量好;
(2)为了进一步研究乙种手机的电池性能,从上述部乙种手机中随机抽取
部,记所抽
部手机供电时间不小于
小时的个数为
,求
的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)= 在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数a的值及f(x)的极值;
(2)若对任意x1 , x2∈[e2 , +∞),有| |>
,求实数k的取值范围.
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【题目】一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
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