Question

【题目】设命题p：实数x满足 ＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：命题p：a=1时，由 ＜0，化为：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3．

命题q：实数x满足 ，

化为： ，解得 ，解得2＜x＜3．

∵p∧q为真，∴ ，解得2＜x＜3．

∴实数x的取值范围是（2，3）

（2）解：由（1）可得：命题q：实数x满足：2＜x＜3．

命题p：实数x满足 ＜0，其中a＞0，化为（x﹣a）（x﹣3a）＜0，解得a＜x＜3a．

∵￢p是￢q的充分不必要条件，

∴q是p的充分不必要条件，

∴ ，且等号不能同时成立，解得1≤a≤2．

∴实数a的取值范围是[1，2]

【解析】（1）命题p：a=1时，由 ＜0，化为：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解出即可得出．命题q：实数x满足 ，化为： ，解得x范围．由p∧q为真，可得命题p与q都为真命题．（2）由（1）可得：命题q：实数x满足：2＜x＜3．命题p：实数x满足 ＜0，其中a＞0，化为（x﹣a）（x﹣3a）＜0，解得x范围．由￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．