【题目】已知函数 的定义域为
,若对于任意的
,
,都有
,且当
时,有
.
(1)证明: 为奇函数;
(2)判断 在
上的单调性,并证明;
(3)设 ,若
(
且
)对
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2) 在
上为单调递增函数;(3)
【解析】试题分析:(1)令x=y=0可得f(0)=0,令y=-x及奇函数的定义即得证;
(2)根据函数单调性的定义即可判断f(x)在[-2,2]上的单调性,并证明;
(3)结合函数单调性和奇偶性的性质以及对数函数的性质将不等式恒成立进行转化即可得到结论.
试题解析:
(1) 令 ,
所以 ,
令 ,
所以 ,
所以 ,故
为奇函数
(2) 在
上为单调递增函数.
任取 ,
所以 ,
所以 ,
因为 是定义在
上的奇函数,
所以 ,
所以 ,
所以 在
上为单调递增函数
(3) 因为 在
上为单调递增函数,
所以 ,
因为 对
恒成立,
所以 ,
当 时,
所以 ;
当 时,
所以 .
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【题目】为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,
的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
当产品中的微量元素,
满足
且
时,该产品为优等品
(1)若甲厂生产的产品共98件,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(2)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知幂函数满足
.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,是否存在实数
使得
的最小值为0?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(3)若函数,是否存在实数
,使函数
在
上的值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中,甲、乙两班各有6名选手参赛,在第一轮笔试环节中,评委将他们的笔试成绩作为样本数据,绘制成如图所示的茎叶图,为了增加结果的神秘感,主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩,只是告知大家,如果某位选手的成绩高于90分(不含90分),则直接“晋级”.
(1)求乙班总分超过甲班的概率;
(2)主持人最后宣布:甲班第六位选手的得分是90分,乙班第六位选手的得分是97分,
①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况;
②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个,记抽取到“晋级”选手的总人数为,求
的分
布列及数学期望.
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【题目】某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况,抽查东西两部各个城市,得到观看该节目的人数(单位:千人),如茎叶图所示,其中一个数字被污损.
(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率;
(2)随着节目的播出,极大激发了观众对成语知识学习积累的热情,从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了位观众的周均学习成语知识的时间(单位:小时)与年龄(单位:岁),并制作了对照表(如下表所示),
年龄x(岁) | ||||
周均学习成语知识时间y(小时) |
由表中数据,试求线性回归方程,并预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间.
参考公式:.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
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