Question

11．将下列函数按照奇偶性分类
①f（x）=x²，x∈（-1，1]；
②f（x）=$\frac{1}{x-1}$；
③f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{1-x}$
④f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$；
⑤f（x）=$\frac{{|x}^{3}+x|}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$；
⑥f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$；
⑦f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x＞0}\\{x+1，x＜0}\end{array}\right.$
（1）是奇函数但不是偶函数的有⑦；
（2）是偶函数但不是奇函数的有⑤；
（3）既不是奇函数也不是偶函数的有①②③⑥；
（4）既是奇函数又是偶函数的有④．（填相应函数的序号）

Answer 1

分析 奇函数或偶函数的定义域关于原点对称，从而可以根据这些函数的定义域及奇函数、偶函数的定义即可判断每个函数的奇偶性．

解答 解：①定义域不关于原点对称，∴该函数非奇非偶；
②该函数定义域为{x|x≠1}不关于原点对称，∴非奇非偶；
③解$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{1-x≥0}\end{array}\right.$得，x=1，定义域不关于原点对称，∴非奇非偶；
④解$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$得，x=-1，或1；
∴f（x）=0；
∴该函数既是奇函数又是偶函数；
⑤解x²-1＞0得，x＜-1，或x＞1；
f（-x）=$\frac{|-{x}^{3}-x|}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$=f（x）；
∴该函数为偶函数；
⑥x≠0时，满足f（-x）=-f（x），但f（0）=1≠0；
∴该函数非奇非偶；
⑦设x＞0，-x＜0；
∴f（x）=x-1，f（-x）=-x+1=-f（x）；
∴该函数为奇函数；
∴（1）是奇函数但不是偶函数的有：⑦；
（2）是偶函数但不是奇函数的有：⑤；
（3）既不是奇函数也不是偶函数的有：①②③⑥；
（4）既是奇函数又是偶函数的有：④．
故答案为：（1）⑦（2）⑤（3）①②③⑥（4）④．

点评 考查函数奇偶性的定义，奇函数或偶函数的定义域特点，以及根据定义判断一个函数奇偶性的方法和过程，以及分段函数奇偶性的判断．