Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，∥，，，，，分别为线段，，的中点．

（1）证明：平面∥平面．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，设与相交于点，利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理即可证明；

（2）由线面垂直的性质可得，，故、 、两两互相垂直，

以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用空间向量法，则空间向量所成角的余弦值的绝对值即为所求.

（1）证明：连接，设与相交于点，如图，

因为∥，且，，

所以四边形为矩形，

所以为的中点，又因为为的中点，

所以为的中位线，即,

因为平面， 平面，

所以平面，

因为，分别为线段，的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面，

因为平面，平面，，

所以平面∥平面.

（2）因为底面，平面，平面，

所以，因为，

所以、 、两两互相垂直，

以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

所以，

设平面的法向量为，则

，所以，

令，可得，所以，

设直线与平面所成角为，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.