Question

8．已知P为三角形△ABC所在平面上一点，满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$，则P点是△ABC的垂心（填：“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”）．

Answer 1

分析 根据条件即可得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BA}=0$，这样即可由向量垂直的充要条件得出PA⊥BC，PB⊥CA，PC⊥BA，从而得出点P为垂心．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$得，$\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}=0$；
∴PB⊥CA；
同理，PC⊥BA，PA⊥BC；
如图所示，点P为△ABC三边的高线交点；

∴P为三角形ABC的垂心．
故答案为：垂心．

点评 考查向量的数量积运算，向量减法的几何意义，以及向量垂直的充要条件，三角形垂心的定义．