Question

8．已知直线ax+2by-2=0平分圆x²+y²-2x-2y+1=0，则3^a+9^b的最小值为6．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，直线ax+2by-2=0平分圆x²+y²-2x-2y+1=0的周长说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得a，b的关系，用此关系求出3^a+9^b的最小值．

解答 解：圆x²+y²-2x-2y=0的圆心坐标是（1，1），
因为直线ax+2by-2=0始终平分圆x²+y²-2x-2y=0的周长，
所以a+2b=2，
所以3^a+9^b≥2$\sqrt{{3}^{a}•{9}^{b}}$=$2\sqrt{{3}^{a+2b}}$=6，
当且仅当a=2b=1，即a=1，b=$\frac{1}{2}$时等号成立，
则3^a+9^b的最小值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式求最值，其中由直线ax+2by-2=0平分圆x²+y²-2x-2y+1=0的周长得到直线过圆心是本题的突破点．