Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．
（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；
（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半．

取AB的中点O，连接SO，则SO⊥底面ABCD，SO= ，

∵S△DAC= = ，

∴三棱锥S﹣FAC的体积= =

（2）解：连接OD，OC，则OC=OD= ，∴SC=SD=3，

△SAD中，SA=AD=2，F为SD的中点，∴AF= = ．

△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF2=2（9+4），∴CF= ，

△FAC中，cos∠AFC= = ，

∴sin∠AFC= ，

∴S△AFC= × × × =

设D到平面AFC的距离为h，则 ，∴h= ，

∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值 ÷ =

【解析】（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半，取AB的中点O，连接SA，利用体积公式求三棱锥S﹣FAC的体积；（2）求出D到平面AFC的距离，即可求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．