Question

18．（1）求值：lg5•lg400+（lg2${\;}^{\sqrt{2}}$）²；
（2）已知x=log₂3，求$\frac{{8}^{x}+{8}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用对数的运算性质化简求值；
（2）把x=log₂3代入$\frac{{8}^{x}+{8}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，然后利用对数的运算性质结合有理指数幂的运算性质化简得答案．

解答 解：（1）lg5•lg400+（lg2${\;}^{\sqrt{2}}$）²
=lg5（lg4+lg100）+$（\sqrt{2}lg2）^{2}$
=2lg5•lg2+2lg5+2lg²2
=2lg2（lg5+lg2）+2lg5
=2lg2+2lg5
=2（lg5+lg2）
=2；
（2）∵x=log₂3，
∴$\frac{{8}^{x}+{8}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{8}^{lo{g}_{2}3}+{8}^{-lo{g}_{2}3}}{{2}^{lo{g}_{2}3}+{2}^{-lo{g}_{2}3}}$
=$\frac{（{2}^{lo{g}_{2}3}）^{3}+（{2}^{lo{g}_{2}\frac{1}{3}}）^{3}}{3+\frac{1}{3}}$=$\frac{27+\frac{1}{27}}{3+\frac{1}{3}}=\frac{73}{9}$．

点评 本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．