Question

（本题满分16分）如图所示，平面ABCD⊥平面DCEF，四边形ABCD、DCEF为正方形， M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．

（1）求证：GN⊥AC；

（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，

使得GP//平面FMC，并给出证明．

Answer 1

解：（1）∵平面ABCD⊥平面DCEF，

          平面ABCD∩平面DCEF=CD

          FD平面DCEF，FD⊥CD

∴FD⊥平面ABCD               …………………………3分

又∵AC平面ABCD

∴FD⊥AC，

∵四边形ABCD为正方形，N是AC的中点

∴DN⊥AC

又因为FD、DN平面FDN，FD∩DN=D

所以AC⊥平面FDN              …………………………6分

又∵GN平面FDN

∴GN⊥AC                           …………………………7分

（2）当点P在点A处时，GP//平面FMC．…………………………9分

证明：取FC中点O，连结GA、GO、OM

∵GODC，AM DC

∴GOAM

∴AM OG为平行四边形      ………………13分

∴AG∥M O

又因为AG平面FMC，M O平面FMC    …………………………15分

所以GP//平面FMC       …………………………16分