Question

将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望．

Answer 1

分析：由题意知巧合数ξ的可能取值是0、1、2、3、4，当ξ=0时表示没有巧合数，试验包含的所有事件是四个数在四个位置排列，而满足条件的事件是没有巧合数，共有3×3种结果，类似的可以做出其他的概率，得到期望．

解答：解：设ξ为巧合数，则ξ的可能取值是0、1、2、3、4，
当ξ=0时表示没有巧合数，试验包含的所有事件是四个数在四个位置排列，共有A₄⁴种结果，
而满足条件的事件是没有巧合数，共有3×3种结果，类似的可以做出其他的概率，
则P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

9

24

，
P（ξ=1）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，
P（ξ=2）=

C 2 4

A 4 4

=

1

4

，
P（ξ=3）=0，
P（ξ=4）=

C 4 4

A 4 4

=

1

24

，
∴Eξ=0×

9

24

+1×

1

3

+2×

1

4

+3×0+4×

1

24

=1．
∴巧合数的期望为1．

点评：让学生进一步理解期望是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数．