Question

15．若x，y为两个不同的实数，且x²=2x+1，y²=2y+1，则x⁶+y⁶=198．

Answer 1

分析 x，y为两个不同的实数，且x²=2x+1，y²=2y+1，可得x，y为一元二次方程t²-2t-1=0的两个实数根；可得x+y=2，xy=-1．进而得到x²+y²=（x+y）²-2xy．x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²．利用立方和公式可得：x⁶+y⁶=（x²+y²）（x⁴+y⁴-x²y²）即可得出．

解答 解：∵x，y为两个不同的实数，且x²=2x+1，y²=2y+1，
∴x，y为一元二次方程t²-2t-1=0的两个实数根；
∴x+y=2，xy=-1．
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=2²-2（-1）=6．
x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=6²-2×（-1）²=34．
则x⁶+y⁶=（x²+y²）（x⁴+y⁴-x²y²）
=6×（34-1）
=198．
故答案为：198．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．