Question

3．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1}$，其中x∈R．
（Ⅰ）证明：2π是函数f（x）的周期；
（Ⅱ）①指出并证明函数f（x）的奇偶性；
②写出（不必说明理由）函数y=f（x）图象的一条对称轴；
（Ⅲ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的周期性的定义，即可得证；
（Ⅱ）①函数f（x）为奇函数．运用奇函数的定义即可得到；
②x=$\frac{π}{2}$为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
（Ⅲ）由f（x）为奇函数，且为周期函数，且对称轴为x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，根据对称轴处取得最值，即可得到值域．

解答 解：（Ⅰ）证明：由-1≤sinx≤1，可得函数f（x）的定义域为R，
f（x+2π）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}（x+2π）}+sin（x+2π）-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}（x+2π）}+sin（x+2π）+1}$=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1}$=f（x），
即有2π是函数f（x）的周期；
（Ⅱ）①函数f（x）为奇函数．
理由如下：f（-x）+f（x）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}-sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}-sinx+1}$+$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1}$
=$\frac{（1+si{n}^{2}x）-（sinx+1）^{2}+（1+si{n}^{2}x）-（sinx-1）^{2}}{（\sqrt{1+si{n}^{2}x}-sinx+1）（\sqrt{1+si{n}^{2}x}+sinx+1）}$
=0，
即有f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．
②x=$\frac{π}{2}$为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
（Ⅲ）由f（x）为奇函数，且为周期函数，f（0）=0，且对称轴为x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
代入x=$\frac{π}{2}$，可得f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}\frac{π}{2}}+sin\frac{π}{2}-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}\frac{π}{2}}+sin\frac{π}{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}$=$\sqrt{2}$-1．
代入x=-$\frac{π}{2}$，可得f（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{1+si{n}^{2}（-\frac{π}{2}）}+sin（-\frac{π}{2}）-1}{\sqrt{1+si{n}^{2}（-\frac{π}{2}）}+sin（-\frac{π}{2}）+1}$=$\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}$=1-$\sqrt{2}$．
即有函数的值域为[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1]．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查三角函数的奇偶性和周期性、对称性的判断和运用，同时考查函数的值域求法，属于中档题．