Question

13．在直角坐标系中，以x轴正半轴为始边的两锐角α，β的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知：x_A=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，x_B=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 首先，结合三角函数的定义，得到cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，然后，结合两角和的正弦公式进行求解．

解答 解：根据三角函数的定义，得
cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵α，β为两锐角，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$
=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴sin（α+β）的值$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题重点考查了同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式等知识，属于中档题．