Question

18．△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a＜b＜c，设l=$\frac{a+b+c}{a}$，则l的取值范围是（3，3+$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 设三边的公比是q，三边为a，aq，aq²，（q＞1），利用a+aq＞aq²，确定q的范围，进而利用l=$\frac{a+b+c}{a}$=1+q+q²=（q+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在（1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）上单调递增，求出l的取值范围．

解答 解：设三边的公比是q，三边为a，aq，aq²，（q＞1）
且a+aq＞aq²，∴1＜q＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴l=$\frac{a+b+c}{a}$=1+q+q²=（q+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在（1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）上单调递增，
∴3＜l＜3+$\sqrt{5}$．
故答案为：（3，3+$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查等比数列的定义，考查二次函数性质的应用，属于中档题．