Question

8．已知f（x）定义域是[0，1]，g（x）=f（x+a）+f（x-a），|a|≤$\frac{1}{2}$，求g（x）定义域．

Answer 1

分析 根据f（x）的定义域，得出g（x）=f（x+a）+f（x-a）的自变量x的不等式组，再讨论a的取值范围，从而求出函数g（x）的定义域．

解答 解：∵f（x）定义域是[0，1]，g（x）=f（x+a）+f（x-a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+a≤1}\\{0≤x-a≤1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-a≤x≤1-a}\\{a≤x≤1+a}\end{array}\right.$，
又∵|a|≤$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
∴当$\frac{1}{2}$≥a≥0时，
a＞-a，1-a＞a，
得a≤x≤1-a；
当-$\frac{1}{2}$≤a＜0时，
-a＞a，1+a＞-a，
得-a≤x≤1+a；
∴-$\frac{1}{2}$≤a＜0时，函数g（x）的定义域是[-a，1+a]，
0≤a≤$\frac{1}{2}$时，函数g（x）的定义域是[a，1-a]．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了不等式组的解法与应用问题，是综合性题目．