Question

4．已知直线l₁：ax-y+a+2=0，l₂：ax+（a²-2）y+1=0，当a为何值是，l₁和l₂：
（1）相交；
（2）平行；
（3）重合．

Answer 1

分析 （1）对y的系数分类讨论，利用两条直线相交的充要条件即可得出；
（2）对y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可得出；
（3）利用（1）（2）及其两条直线重合的充要条件即可得出．

解答 解：（1）当a²-2=0，即a=$±\sqrt{2}$时，直线l₁和l₂分别化为：y=$\sqrt{2}x$+$\sqrt{2}$+2，$\sqrt{2}$x+1=0，此时两条直线相交，满足条件；或y=-$\sqrt{2}x$-$\sqrt{2}$+2，-$\sqrt{2}$x+1=0，此时两条直线相交，满足条件．∴a=$±\sqrt{2}$时．
当a²-2≠0，即a≠$±\sqrt{2}$时，直线l₁和l₂分别化为：y=ax+a+2，y=$\frac{a}{2-{a}^{2}}x+\frac{1}{2-{a}^{2}}$，由于两条直线相交，∴$\frac{a}{2-{a}^{2}}$≠a，解得a≠0或a≠±1．
综上可得：a=$±\sqrt{2}$，或a≠0或a≠±1时，两条直线相交．
（2）由（1）可知：当a²-2=0，即a=$±\sqrt{2}$时，此时两条直线相交，不平行，舍去；
当a²-2≠0，即a≠$±\sqrt{2}$时，直线l₁和l₂分别化为：y=ax+a+2，y=$\frac{a}{2-{a}^{2}}x+\frac{1}{2-{a}^{2}}$，由于两条直线平行，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2-{a}^{2}}=a}\\{\frac{1}{2-{a}^{2}}≠a+2}\end{array}\right.$，解得a=0或a=1．
综上可得：a=0或a=1时，两条直线平行．
（3）由（1）（2）可知：a=-1时两条直线重合．

点评 本题考查了分类讨论方法、两条直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．