Question

15．q求曲线C₁：|$\frac{x}{4}$|-|$\frac{y}{2}$|=1与曲线C₂：|$\frac{x}{8}$|+|$\frac{y}{2}$|=1所围成图形面积．

Answer 1

分析 根据题意，在同一坐标系中画出C₁、C₂所围成的图形，根据图形的对称性求出它的面积即可．

解答 解：对于曲线C₁：|$\frac{x}{4}$|-|$\frac{y}{2}$|=1，
当x＞0，y＞0时，$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=1$，
当x＞0，y＜0时，$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，
当x＜0，y＜0时，$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=-1$，
当x＜0，y＞0时，$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=-1$；
对于曲线C₂：|$\frac{x}{8}$|+|$\frac{y}{2}$|=1，
当x＞0，y＞0时，$\frac{x}{8}+\frac{y}{2}=1$，
当x＞0，y＜0时，$\frac{x}{8}-\frac{y}{2}=1$，
当x＜0，y＜0时，$\frac{x}{8}+\frac{y}{2}=-1$，
当x＜0，y＞0时，$\frac{x}{8}-\frac{y}{2}=-1$；
在同一坐标系中画出这8条线段，它们所围成的图形是四边形ABCD和四边形EFGH，
如图所示；

由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=1\\ \frac{x}{8}+\frac{y}{2}=1\end{array}\right.$，得点A（$\frac{16}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
∴△ABD的面积为：S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•y_A=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$；
∴四边形ABCD的面积为：S_{四边形ABCD}=2S_△ABD=2S_△ABD=2×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$；
由C₁、C₂所围成的图形的面积为：
S=S_{四边形ABCD}+S_{四边形EFGH}=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了分类讨论的应用问题，考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．