Question

（2010•通州区一模）设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，椭圆C上一点P（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．又直线l：y=

1

2

x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l经过点F₁，求△ABF₂的面积；
（Ⅲ）求

OA

 • 

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，求出a=2，又点A（1，

3

2

）在椭圆上，解得b，最后写出椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁、F₂两点的坐标；直线l：y=

1

2

x+m经过点F₁求得m，设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△ABF₂的面积，从而解决问题．
（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得求

OA

 • 

OB

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，即a=2．            （1分）
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，∴

1

4

+

( 3 2 )  2

b2

=1，解得b²=3．（2分）
∴椭圆C的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．                                          （3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c²=a²-b²=1，即c=1，
∴F₁、F₂两点的坐标分别为（-1，0）、（1，0）．                                    （4分）
∵直线l：y=

1

2

x+m经过点F₁（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）+m，∴m=

1

2

．                                               （5分）
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意，有

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+ 1 2

，消去x，整理得16y²-12y-9=0，
∴y₁+y₂=

3

4

，y₁y₂=-

9

16

．                                                （6分）
设△ABF₂的面积为S_ABF2，则
S_ABF2=

1

2

|F₁F₂||y₂-y₁|=

1

2

×2

(y1+y2)  2-4y1y2

=

9 16 + 36 16

=

3 5

4

（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由题意，有

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，消去y，整理得x²+mx+m²-3=0  ①
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3．
∴y₁y₂=（

1

2

x₁+m）（

1

2

x₂+m）=

1

4

x₁x₂+

1

2

（x₁+x₂）m+m²
=

1

4

（m²-3）+

1

2

（-m）m+m²=

3

4

m²-

3

4

．                                      （10分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=m²-3+

3

4

m²-

3

4

=

7

4

m²-

15

4

，（11分）
又由①得，△=m²-4（m²-3）=-3m²+12，
∵A、B为不同的点，∴△＞0，∴0≤m²＜4．     
∴-

15

4

≤

OA

•

OB

＜

13

4

．
∴

OA

•

OB

的取值范围是[-

15

4

，

13

4

）．                                          （14分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、平面向量数量积的运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．