Question

已知函数f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b、c的值；
(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；
(3)若t∈R，求证：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

Answer 1

(1) c=2，b=－2  (2)见解析  (3) 见解析

（1）由已知中函数的值域是[1，3]，利用判别式法，我们可以构造出一个关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值；
（2）由（1）的结论我们易给出函数F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我们可以判断出F（x₁）与F（x₂）的大小，结合函数单调性的定义，我们易判断出函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性．
（3）根据函数的单调性得到不等式的证明，。
(1)解：设y=，则(y－2)x²－bx+y－c="0" ①
∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即b²－4(y－2)(y－c)≥0，
即4y²－4(2+c)y+8c-b²≤0   ②                                                      
由条件知，不等式②的解集是［1，3］
∴1，3是方程4y²－4(2+c)y+8c-b²=0的两根
∴c=2，b=－2，b=2(舍）
(2)任取x₁，x₂∈［－1，1］，且x₂＞x₁，则x₂－x₁＞0，且
(x₂－x₁)(1－x₁x₂)＞0，
∴f(x₂)－f(x₁)=－＞0，
∴f(x₂)＞f(x₁)，lgf(x₂)＞lgf(x₁)，即F(x₂)＞F(x₁)
∴F(x)为减函数.

即－≤u≤，根据F(x)的单调性知
F(－)≤F(u)≤F()，∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg对任意实数t成立.