Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A．B．C的对边，且sin²A+sin²B-sin²C=sinA•sinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角C的余弦值，从而得到答案．
（2）先根据余弦定理找到边ab的范围，然后代入三角形的面积公式即可求出面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）解：根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，
∵sin²A+sin²B-sin²C=sinA•sinB．
∴k²a²+k²b²-k²c²=ka•kb，即：a²+b²-c²=a•b
∴由余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∴C=

π

3

（Ⅱ）由余弦定理可知c²=a²+b²-2a•bcosC
∴4=a²+b²-a•b≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b=2时等号成立）
即ab≤4
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

1

2

×4×

3

2

=

3

∴△ABC面积的最大值为

3

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．正弦定理与余弦定理在解三角形时有很大的用途，要给予重视．