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已知圆M的圆心在直线y=x上,且与直线2x+y-2=0相切于点P(1,0),
(1)求圆M的标准方程;
(2)若圆M与圆N:(x-2m)2+(y-n)2=n2+1交于A,B两点,且这两点平分圆M的圆周,求圆N的半径的最小值及此时圆N的方程.
分析:(1)由圆M的圆心在直线y=x上,设出圆心C的坐标为(a,a),由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线的距离d,然后利用两点间的距离公式表示出MP的长度即为圆的半径,然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,由a的值可确定出圆心坐标及半径,然后根据圆心和半径写出圆的方程即可;
(2)欲求半径最小时圆N的方程,由于圆N半径r=
n2+1
,只须求出n的取值范围即可.
解答:解:(1)因为圆M的圆心在直线y=x上,则可设圆心为C(a,a).
由于圆M与直线2x+y-2=0相切于点P(1,0),
则点C到直线2x+y-2=0的距离d=MP,即
|2a+a-2|
22+12
=
(a-1)2+a2

则a2+2a+1=0,
解得a=-1.
所以圆心为C(-1,-1),半径r=d=
5

则所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=5.
(2)由于圆N:(x-2m)2+(y-n)2=n2+1,
则圆N的圆心N(2m,n),半径r=
n2+1

由平面几何知识,得:|AN|2=|AM|2+|MN|2
所以n2+1=5+(2m+1)2+(n+1)2
n=-2m2-2m-3=-2(m+
1
2
)2-
5
2
≤-
5
2

n=-
5
2
时,r的最小值为
29
2
,m=-
1
2

此时此时圆N的方程为:(x+1)2+(y+
5
2
)2=
29
4
点评:本小题主要考查圆与圆的位置关系、曲线与方程、函数最值等基础知识,以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.
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