Question

已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（-1，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．

Answer 1

分析：（I）根据题意，可得圆心C（a，b）满足b=a+1且b=2a，解出a=1且b=2．直线l与圆相切，由点到直线的距离公式算出半径r=2

2

，从而可得圆C的方程；
（II）设M（x，y）、B（x₀，y₀），由中点坐标公式算出x₀=2x-1且y₀=2y，代入圆C方程化简即可得到M的轨迹，表示以（1，1）为圆心，

2

为半径的圆．

解答：解：（Ⅰ）设圆心C（a，b）半径为r，则有b=2a，…（1分）
又∵C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上，…（3分）
∴b=a+1，解得a=1，b=2，从而r=2

2

…（5分）
∴圆C方程为：（x-1）²+（y-2）²=8…（6分）
（Ⅱ）设M（x，y），B（x₀，y₀），则有

1+x0

2

=x，

y0

2

=y，…（8分）
解得x₀=2x-1，y₀=2y，代入圆C方程得：（2x-2）²+（2y-2）²=8，…（10分）
化简得（x-1）²+（y-1）²=2…（11分）
表示以（1，1）为圆心，

2

为半径的圆．…（12分）

点评：本题给出圆C满足的条件，求圆的方程并依此求动点M的轨迹方程．着重考查了轨迹方程的求法、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．