Question

已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，且经过点A（5，2），B（3，2），
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l过点P（2，1）且与圆C相交的弦长为2

6

，求直线l的方程．
（3）设Q为圆C上一动点，O为坐标原点，试求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设圆心C（a，2a-3），由圆经过点A（5，2），B（3，2），可得|CA|²=|CB|²，由此求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=2，经检验满足条件．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y-1=k（x-2），求出弦心距d，再由d2+(

6

)2= r2求得k
的值，即可求得直线l的方程．综合可得结论．
（3）求出直线OP的方程为 x-2y=0，圆心到直线的距离d 的值，根据△OPQ面积的最大值为

1

2

•|OP|•(d+r)，运算求得结果．

解答：解：（1）∵圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，设C（a，2a-3），由圆经过点A（5，2），B（3，2），可得|CA|²=|CB|²，
即 （a-5）²+（2a-3-2）²=（a-3）²+（2a-3-2）²，解得 a=4．
故圆心C（4，5），半径为r=|CA|=

(a-5)2+(2a-3-2)2

=

10

，故圆C的标准方程为 （x-4）²+（y-5）²=10．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=2，弦心距等于2，满足弦长为2

6

，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y-1=k（x-2），即 kx-y+1-2k=0．
此时，弦心距d=

|4k-5-2k+1|

k2+1

=

|2k-4|

k2+1

，由d2+(

6

)2= r2 解得 k=

3

4

，故直线l的方程为 y=

3

4

x-

1

2

．
综上可得，所求的直线l的方程为 x=2，或 y=

3

4

x-

1

2

．
（3）直线OP的方程为 y=

1

2

x，即 x-2y=0，故圆心到直线的距离为d=

|4-2×5|

4+1

=

6 5

5

 
故圆上的点到直线OP的距离最大为d+r=

6 5

5

+

10

．再由|OP|=

1+4

=

5

，可得△OPQ面积的最大值为

1

2

•|OP|•(d+r)=3+

5 2

2

．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．