Question

已知圆C的圆心在直线l₁：x-y-1=0上，与直线l₂：4x+3y+14=0相切，且截得直线l₃：3x+4y+10=0所得弦长为6，求圆C的方程．

Answer 1

分析：由题意设圆心为（a，b），半径为r，利用圆与直线4x+3y+14=0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，列出方程，即可求出a，b，从而可得到圆的方程．

解答：解：设圆心C（a，b），半径为r．
则∵圆C的圆心在直线l₁：x-y-1=0上，
∴a-b-1=0，
∵圆C与直线l₂：4x+3y+14=0相切
∴r=

|4a+3b+14|

5

，
∵圆C截得直线l₃：3x+4y+10=0所得弦长为6
∴

|3a+4b+10|

5

=

r2-9

．
所以

(4a+3b+14)2

25

-

(3a+4b+10)2

25

=9．
即

(a-b+4)(7a+7b+24)

25

=9．
因为a-b=1，
所以

5(7a+7b+24)

25

=9，
∴a+b=3．
由

a-b=1 a+b=3

解之得

a=2 b=1

故所求圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=25．

点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，正确应用直线与圆相切，相交的关系是解题的关键，考查计算能力．