Question

10．已知曲线C上任意一点P到点F（1，0）的距离比到直线x=-3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）若斜率k＞2的直线l过点F且交曲线C为A、B两点，当线段AB的中点M到直线l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距离为$\frac{1}{13}$时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）联立直线方程与抛物线方程，消去y，得 k²x²-2（k²+2）x+k²=0，利用线段AB的中点M到直线l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距离为$\frac{1}{13}$，用k表示a，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-1的距离相等
∴由抛物线的定义得曲线C为抛物线，$\frac{p}{2}$=1
∴轨迹方程为：y²=4x．　　　　　　　　　　 …4分
（Ⅱ）由已知得直线l：y=k（x-1）（k＞2）
联立直线方程与抛物线方程，消去y，得 k²x²-2（k²+2）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
则x₀=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2}{k}$
于是点M到直线l′的距离为$\frac{|5{x}_{0}+12{y}_{0}+a|}{\sqrt{13}}$=$\frac{1}{13}$
由 k＞2及a＞-5得：$\frac{10}{{k}^{2}}$+$\frac{24}{k}$+a+5=1
即a=-$\frac{10}{{k}^{2}}$-$\frac{24}{k}$-4=-10$（\frac{1}{k}+\frac{6}{5}）^{2}$+$\frac{52}{5}$，
由k＞2知$\frac{6}{5}＜\frac{1}{k}+\frac{6}{5}＜\frac{17}{10}$
∴-$\frac{37}{2}$＜a＜-4  
∴由a＞-5得：a的取值范围为（-5，-4）．　…12分

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，根据线段AB的中点M到直线l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距离为$\frac{1}{13}$，确定a，k的关系是关键．