Question

5．已知函数f（x）=x²+2x-a与g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]
• B． [$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，e²-2]
• C． （1，e²-2]
• D． [e²-2，+∞）

Answer 1

分析 若函数f（x）=x²+2x-a与g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的图象有两个不同的交点，x²-2lnx=a（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有两个根，令g（x）=x²-2lnx，利用导数法分析函数的单调性和最值，可得答案．

解答 解：若函数f（x）=x²+2x-a与g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的图象有两个不同的交点，
则x²-2lnx=a（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有两个根，
令g（x）=x²-2lnx，
则g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）=x²-2lnx为减函数，
当1＜x≤e时，g′（x）＞0，函数g（x）=x²-2lnx为增函数，
故当x=1时，g（x）=x²-2lnx取最小值1，
又由g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，g（e）=e²-2，
$\frac{1}{{e}^{2}}$+2＜e²-2，
故a∈（1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，利用导数求闭区间上函数的最值，难度中档．