Question

7．平面内三个向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为30°，且|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{OC}$|=2$\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），则$\frac{λ}{μ}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 以OC为对角线，$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$方向为边作?ODCE，由$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}$，能求出$\frac{λ}{μ}$的值．

解答 解：以OC为对角线，$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$方向为边作?ODCE，
∵平面内三个向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，
$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为30°，且|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{OC}$|=2$\sqrt{3}$，
∴∠COD=30°，∠COE=∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，∵|$\overrightarrow{OC}$|=2$\sqrt{3}$，∴|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{|\overrightarrow{OC}|}{cos30°}$=4，
在Rt△OCE中，|$\overrightarrow{OE}$|=|$\overrightarrow{OC}$|•tan30°=2，
∴$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$，
∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），又$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{3}\overrightarrow{OE}$，
∴$λ=2，μ=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查向量中两个参数的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的线性运算性质的合理运用．