Question

在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：

组别	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	5	18	28	26	17	6

（1）求抽取的样本平均数x和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N（μ，σ²）（其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：

161

≈12.7，若z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.682，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544．）．
（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列,正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

专题：概率与统计

分析：（1）由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式和方差公式能求出抽取的样本平均数x和样本方差s²．（2）由（1）知z～N（70，161），由此能求出P（z＞82.7）=

1-0.6826

2

=0.1587，从而能求出在这2000名考生中，能进入复试人数．
（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与期望E（ξ）．

解答： 解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得：
样本平均数

.

x

=45×0.05+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.17+95×0.06=70，
样本方差S²=（-25）²×0.05+（-15）²×0.18+（-5）²×0.28+5²×0.26+15²×0.17+25²×0.06=161，
（2）由（1）知z～N（70，161），
∴P（z＞82.7）=

1-0.6826

2

=0.1587，
∴在这2000名考生中，能进入复试的有：2000×0.1587≈317人．
（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

1

5

，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．