Question

【题目】如图，在三棱柱中，四边形，均为正方形，且，M为的中点，N为的中点．

（1）求证：平面ABC；

（2）求二面角的正弦值；

（3）设P是棱上一点，若直线PM与平面所成角的正弦值为，求的值

Answer 1

【答案】（1）证明过程见详解；（2）；（3）.

【解析】

（1）先取中点为，连接，，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，进而可得平面ABC；

（2）先由题意，得到，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设边长为，分别求出平面和平面的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；

（3）先设，得到，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果.

（1）取中点为，连接，，

因为为的中点，为的中点，

所以，，

又平面，平面，，

所以平面平面，

又平面，

所以平面ABC；

（2）因为四边形，均为正方形，所以，，两两垂直，

以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设边长为，则，，，，，

所以，，

因此，，，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，

因此；

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，

因此，

设二面角的大小为，

则，

所以；

（3）因为是棱上一点，设，则，

所以，

由（2）知，平面的一个法向量为，

又直线与平面所成角的正弦值为，记直线与平面所成角为

则有，

整理得，解得或（舍）

所以.