Question

5．已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得|x-a|＞$\frac{lnx}{x}$，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得|x-a|＞$\frac{lnx}{x}$．*
（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，$\frac{lnx}{x}$＜0，不等式*恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）当x=1时，|1-a|≥0，$\frac{lnx}{x}$=0，所以a≠1；       
（ⅲ）当x＞1时，不等式*恒成立等价于a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立或a＞x+$\frac{lnx}{x}$恒成立．
令h（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$．
因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．
因为a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立等价于a＜（h（x））_min，所以a≤1．
令g（x）=x+$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-lnx}{{x}^{2}}$．
再令e（x）=x²+1-lnx，则e′（x）=2x-$\frac{1}{x}$＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上无最大值．
综上所述，满足条件的a的取值范围是（-∞，1）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．