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    【题目】如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点是的中点，点在底面上的射影为点，点在棱上，且四棱锥的体积为.

    （1）若点是的中点，求证:平面平面；

    （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】（1）求证见解析（2）

    【解析】

    （1）是棱锥的高，由体积计算出高后计算出侧棱长，得侧面是等边三角形，可证平面，再得面面垂直；

    （2）分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，直线的方向向量，由向量法来求空间角．

    （1）依题意，平面，又是边长为的正方形，且四棱锥的体积为，

    所以，所以，，

    又，点是的中点，所以，同理，，又，

    所以平面，又平面，所以平面平面.

    （2）连接，易得，，互相垂直，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

    因为为棱上一点，设，所，

    设平面的法向量，则由得令，则，所以，又平面的法向量为，

    所以，解得，所以，

    又，所以，

    所以直线与平面所成角的正弦值为.

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    （1）令，，求的取值范围；

    （2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

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    （Ⅰ）求的值（用表示）；

    （Ⅱ）若，求的取值范围.

    注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.

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    （1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面

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    （1）求圆的方程;

    （2）设过点 的直线被圆截得弦长等于,求直线的方程;

    （3）过点的直线与圆交于两点（在轴上方）,问在轴正半轴上是否存在点,使得轴平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

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    【题目】北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）

    A.B.C.D.

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    【题目】已知多面体中，为矩形，平面，，且，，，点为的中点.

    （1）求证：平面；

    （2）求二面角的平面角的正弦值.

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    某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：

    方式一：逐份检验，则需要检验n次.

    方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.

    若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.

    假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

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    （2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，

    满足且（）都有成立.

    （i）求证：数列等比数列；

    （ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值

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