Question

已知a,b,c为互不相等的非负数，求证：a2+b2+c2＞(++).

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：因为a,b,c为互不相等的非负数，由重要不等式得，a2+b2＞2ab，b2+c2＞2bc，a2+c2＞2ac，利用同向不等式的加法原则得，a2+b2+c2＞ab+bc+ac，由基本不等式得ab+bc＞2 ，bc+ac＞2，ab+ac＞2，再利用加法原则得，ab+bc+ac＞(++)，再利用不等式的传递性即得所要证明的结论.

试题解析：证明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.

又∵a,b,c为互不相等的非负数，

∴上面三个式子中都不能取“=”，

∴a2+b2+c2＞ab+bc+ac,

∵ab+bc≥2,bc+ac≥2,

ab+ac≥2,

又a,b,c为互不相等的非负数，

∴ab+bc+ac＞(++),

∴a2+b2+c2＞(++) （14分）

考点：重要不等式；基本不等式；不等式性质