Question

已知函数f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
（1）求f（x）的最小值及f（x）取到最小值时自变量x的集合；
（2）指出函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象经过哪些变换得到；
（3）当x∈[0，m]时，函数y=f（x）的值域为[-

3

，2]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=2sin（2x-

π

3

），可得 y_min=-2，此时2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，从而求得f（x）取到最小值时自变量x的集合．
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．
（3）由条件可得2m-

π

3

≥

π

2

，即 m≥

5π

12

．又函数y=f（x）在[

5π

12

，

11π

12

]上是单调减函数，令2sin（2x-

π

3

）=-

3

，解得 x=

5π

6

，由此可得m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2sin（2x-

π

3

），故 y_min=-2．此时，2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

12

，k∈Z，
即此时自变量x的集合是{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}． …（3分）
（2）把y=sinx图象向右平移

π

3

，得到函数y=sin（x-

π

3

）的图象．
再把函数y=sin（x-

π

3

）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

2

，
得到函数y=sin（2x-

π

3

）的图象．
最后再把函数y=sin（2x-

π

3

）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，
得到函数y=2sin（2x-

π

3

）的图象．  …（6分）
（3）∵当x∈[0，m]时，函数y=f（x）的值域为[-

3

，2]，
又当x∈[0，m]时，有-

π

3

≤2x-

π

3

≤2m-

π

3

，且y取到最大值2，f（0）=-

3

，
所以2m-

π

3

≥

π

2

，故 m≥

5π

12

． …（8分）
又函数y=f（x）在[

5π

12

，

11π

12

]上是单调减函数，令2sin（2x-

π

3

）=-

3

，可得 x=

5π

6

．
所以m的取值范围是[

5π

12

，

5π

6

]．…（10分）

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性和最值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．