Question

（本小题满分12分）已知椭圆C：(.

（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率k的取值范围;

（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1） ……2分

（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：

由得.

,……4分

（1）

又

由 ∴所以（2）由（1）（2）得。……6分

（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等。

当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，……

当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，，则直线RQ的斜率为，

由，得……(1)，同理……(2) ……8分

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化简得， ，即。

综上，d=1时a,b满足条件……12分

考点：椭圆方程及性质，直线与椭圆相交问题

点评：直线与椭圆相交联立方程利用韦达定理设而不求是常用的思路，第二问中将夹角是锐角时转化为向量数量积小于零，从而可用点的坐标表示，