Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

与向量

m

夹角为

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（Ⅰ）求向量

n

；
（Ⅱ）设向量

a

=（1，0）向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），其中0＜x＜

2π

3

，若

a

⊥

n

，试求|

n

+

b

|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设向量

n

=（x，y），由已知中向量

m

=（1，1），向量

n

与向量

m

夹角为

3π

4

，且

m

•

n

=-1．根据向量数量积的运算法则，可得到关于x，y的方程组，解方程可得向量

n

的坐标；
（Ⅱ）由向量

a

=（1，0）向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），其中0＜x＜

2π

3

，若

a

⊥

n

，我们可以求出|

n

+

b

|²的表达式，利用三角函数的性质可得|

n

+

b

|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设向量

n

=（x，y），∵向量

m

=（1，1），
则

m

•

n

=x+y=-1…①

m

•

n

=|

m

|•|

n

|•cos

3π

4

=-1，
即x²+y²=1
解得x=0，y=-1或x=-1，y=0
故

n

=（-1，0），或

n

=（0，-1），
（II）∵向量

a

=（1，0），

a

⊥

n

，
则

n

=（0，-1），
又∵向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），
∴

n

+

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）-1）=（cosx，cos（

2π

3

-x）），
则|

n

+

b

|²=cos²x+cos²（

2π

3

-x）=

5

4

cos²x+

3

4

sin²x+

3

2

sinx•cosx=

1

2

sin（2x+

π

6

）+1，
∵0＜x＜

2π

3

，
∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

3π

2

故-1＜sin（2x+

π

6

）≤1则

1

2

＜

1

2

sin（2x+

π

6

）+1≤

3

2

故

2

2

＜|

n

+

b

|≤

6

2

点评：本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，是解答本题的关键．