Question

3．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数及平均身高；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x-y|≤5”的事件的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图可得前五组频率，进而可得后三组频率和人数，又可得后三组的人数，可得平均身高；
（2）易得后三组的$\frac{频率}{组距}$，可得频率分布直方图；
（3）身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，列举可得总的基本事件共15种情况，事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，由概率公式可得．

解答 解：（1）由频率分布直方图得前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9，
∴学校高三年级全体男生身高在180 cm以上（含180 cm）的人数为800×0.18=144，
由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，
设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，
又由等差数列可得m+2=2（7-m），解得m=4，
∴第六组人数为4，第七组人数为3，
∴平均身高为$\frac{1}{9}$（182.5×4+187.5×3+192.5×2）≈186.4
（2）由（1）可得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，
第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06．
$\frac{频率}{组距}$分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如图．

（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，
身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，
若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；
若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；
若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．
∴基本事件总数为6+1+8=15，事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，
∴P（|x-y|≤5）=$\frac{7}{15}$．

点评 本题考查列举法计算基本事件数和事件发生的概率，涉及频率分布直方图，属中档题．