Question

13．设函数f（x）定义在（-1，1）上，求证：f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 证明：∵f（x）定义在（-1，1）上，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{-1＜-x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，
则设g（x）=f（x）+f（-x），
则g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），则g（x）为偶函数，
设h（x）=f（x）-f（-x），
则h（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-h（x），则f（x）-f（-x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．