Question

5．已知集合A={x|x²+4x≤0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1≤0}，且A∩B=B，则a的取值范围为{a|a≤-1或a=1}．

Answer 1

分析 求解一元二次不等式化简A，由A∩B=B，得B⊆A．然后分B为空集和非空集合分类求解a的取值范围．

解答 解：由A∩B=B，得B⊆A．
∵A={x|x²+4x≤0}=[-4，0]，
若△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8＜0，即a＜-1，
则B={x|x²+2（a+1）x+a²-1≤0}=∅，满足B⊆A；
若△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8=0，即a=-1，
则B={x|x²+2（a+1）x+a²-1≤0}={0}，满足B⊆A；
若△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8＞0，即a＞-1，
要使B⊆A，则$\left\{\begin{array}{l}{-4＜-（a+1）＜0}\\{（-4）^{2}-8（a+1）+{a}^{2}-1≥0}\\{{a}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，解得：a=1．
综上，a的取值范围为{a|a≤-1或a=1}．
故答案为：{a|a≤-1或a=1}．

点评 本题考查交集及其运算，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”结合解决一元二次方程根的分布问题，是中档题．